Update: Lehrstück-Film "Mit Euklid am Sechsstern das Beweisen verstehen"

idaktische Erläuterungen

Mit dem Mathematiklehrstück zum Beweisen wird erstmals ein vollständiges Lehrstück im Unterricht filmisch dokumentiert. Lehrstücke sind Unterrichtseinheiten, die nach den didaktischen Grundsätzen der Lehrkunst gestaltet sind.

Die Ausgangsfragen der Lehrkunstdidaktik lauten: Wie kann Schulunterricht zu einer Gelegenheit für verständnisförderndes Lernen werden, wie wird aus interessanten Themen spannender Unterricht? Mindestens drei Dinge braucht es dazu: Erstens lohnende Lerngegenstände, zweitens genug Zeit zur Vertiefung und drittens das selbständige forschende Lernen der Schülerinnen und Schüler.

Das Lehrstück zum „Sechsstern“ bietet diese drei Dinge an. Aber eine solche Unterrichtseinheit realisiert sich erst im konkreten Unterricht, wo wir verfolgen können, wie Schülerinnen und Schüler in der Praxis tatsächlich lernen. Der Film über das Mathematik-Lehrstück „Die Entdeckung der Axiomatik“ dokumentiert erstmals ein vollständiges Lehrstück im Unterricht mit Lernenden der 9. Jahrgangsstufe des Gymnasiums Leonhard in Basel. (Das Lehrstück ist für die Klassenstufen 7. – 9. ausgelegt.)

Der folgende Text bietet didaktische Erläuterungen zum Lehrstück-Film „Mit Euklid am Sechsstern das Beweisen verstehen. Die Entdeckung der Axiomatik“? (Text auf Englisch hier) Warum das? Die Lehrkunstdidaktik verwendet für die Beschreibung von Schulunterricht eigene allgemeindidaktische Begriffe wie „Lehrstück“ oder „Inszenierung“, die auch Fachleuten in der Schule nicht immer geläufig sind. Damit das im Film gezeigte Unterrichtsgeschehen als Resultat bildungstheoretischer Überlegungen und didaktischer Planung deutbar wird, soll dieser Kommentar als Hilfsmittel dienen.

Die didaktischen Erläuterungen zum Lehrstück-Film sind folgendermassen gegliedert: Das Raster ist ein Inszenierungsbericht, der dem Ablauf des Unterrichts im Lehrstück folgt, wie ihn der Film zeigt. Darin sind didaktische bzw. lehrkunstdidaktische Begriffe kursiv gesetzt und sie werden im jeweils folgenden, ganz kursiv gesetzten Abschnitt erläutert. Am Schluss des Textes steht vor den Literaturhinweisen ein Überblick über die wichtigsten lehrkunstdidaktischen Begriffe, bezogen auf das vorliegende Lehrstück.

Der Film beginnt und endet mit der Einblendung des so genannten Denkbilds. Dieses kam als Zusammenfassung im gefilmten Unterricht zwar nicht zum Einsatz, weil es damals noch nicht entwickelt war, wohl aber die einzelnen Elemente wie die Schneeflocken, die Zirkelrose, die Verschiebelinien. Für künftige Inszenierungen des Lehrstücks soll es aber zur Verfügung stehen.

Am Schluss des achtstündigen Mathematikblocks befragten die Filmer einige Schülerinnen und Schüler zu ihren Eindrücken des Lehrstückunterrichts. Alle Befragten hoben als positiv hervor, dass sie dank der Entschleunigung im Unterricht mehr Zeit hatten, selber zu denken. Lukas nannte in seiner Bilanz gar den Begriff der Vertiefung: „Ich fand es gut, denn es war mal etwas anderes als sonst immer die übliche Lernmethode. Man hat sich in alles vertieft, also nicht nur alles oberflächlich angeschaut und dann übersprungen. Man hat jedes Thema ausführlich untersucht und erklärt bekommen. Das ist halt eine schöne Erfahrung, die nicht jeder macht in der Schule.“

Die Lehrkunst hat zum Ziel, das Verstehen aller einzelnen Lernenden zu fördern. Sie strebt dieses Ziel an durch die Vertiefung von Lerngegenständen. Vertiefung erfordert automatisch mehr Zeit, also eine Entschleunigung des Unterrichts. Lehrstücke als Unterrichtseinheiten mittlerer Länge sind so konzipiert, dass sie den Lernenden die Zeit zum selbständigen Denken planmässig einräumen.

Worum ging es denn bei dieser schönen Schulerfahrung, die Lukas erwähnte? Als die 25 Schülerinnen und Schüler seiner 9. Jahrgangsklasse das Zimmer betreten, sieht alles anders aus als sonst: Die Stühle stehen im Kreis herum, die Tische sind den Wänden entlang platziert, auf jedem Stuhl liegt eine kleine Briefrolle, mit farbigem Bändel zusammengehalten, und jetzt bedeckt der Mathematiklehrer zu Beginn der Ouvertüre den ganzen Innenkreis mit grossen Blättern, auf denen ganz verschiedene Dinge abgebildet sind: Schneeflocken, Algen, Quallen, Urtiere, Korallen, Kofferfische, Bienenwaben, aber auch Rosetten aus Kathedralen und anderes Masswerk aus alten Kirchenbauten. Das ist alles neu und wunderlich, kaum jemand aus der Klasse hat solches je so gesehen, denn auch die Schneeflocken wurden erstens isoliert, einzeln fotografiert und riesig vergrössert und die Urtiere aus dem Meer sind wissenschaftliche Zeichnungen nach der Natur. Der Lehrer zeigt allen schnell die Bücher, wo er diese Bilder gefunden hat:  „Snowflakes in Photographs“ des Amerikaners Wilson Bentley, „Die Rosenfenster der gotischen Kathedralen“ von Painton Cowen und „Kunstformen der Natur“ des Deutschen Ernst Haeckel. Da kann man sich nur im Staunen verlieren ob einer derartigen Vielfalt der Natur, zumal der erste Schneeflockenfotograf schon entdeckt hatte, dass keine Schneeflocke gleich ist wie die andere. Und trotzdem, behauptet der Lehrer jetzt, gebe es auch eine Gemeinsamkeit bei den Schneekristallen, ja bei all den Natur- und Kulturdingen, die auf den Blättern und den Briefrollen abgebildet seien. Was ist wohl dieses Gemeinsame? Dies soll im sokratischen Gespräch erörtert werden. Weil die Klasse Zeit hat, in den Phänomenen zu baden, entdecken die meisten schliesslich die gemeinsame Struktur, das Sechseck, bei den Schneesternen zum Beispiel sind die sechs Zacken auf den Mikroskop-Bildern deutlich zu erkennen.

Gibt es also so etwas wie eine gemeinsame Urform und können wir sie möglichst genau zeichnen? Diese Form der Leitfrage führt zur ersten Übung. Alle in der Klasse setzen sich jetzt an ihre Tische und probieren es aus: die einen gleich mit Zirkel und Lineal, wie sie es aus der Geometrie gewohnt sind, die andern zunächst als Skizze mit dem Bleistift oder Farbstift. Wie können wir ein regelmässiges Sechseck konstruieren? Aus dem sechszackigen Stern oder mittels Zirkelkreisen? Es gibt verschiedene Wege zum Ziel, aber am schnellsten und präzise scheint die Methode zu sein, die Josepha mit dem Kreidezirkel jetzt an der Tafel vorführt: Zeichnet man einen Kreis mit beliebigem Radius und trägt diesen sechsmal auf dem Kreisrand ab, so bekommen wir ein regelmässiges Sechseck. Nimmt man die sechs Eckpunkte wiederum als Mittelpunkte für sechs weitere Kreise, so entsteht eine prächtige, blumenartige Struktur: die Zirkelrose! Jetzt entwerfen die Schülerinnen und Schüler auf ihren Blättern viele bunte, grosse und kleine Zirkelrosen, ausgehend von regelmässigen Sechsecken, die einem Kreis eingeschrieben sind.

Regelmässig? Sind unsere Sechsecke wirklich völlig regelmässig? Schneiden sich die Kreise unserer „Rosenblätter“ akkurat? Wer hat die perfekte Zirkelrose gezeichnet? Wie dünn muss die Bleistiftspitze sein, damit sich zwei Linien in genau einem Punkt schneiden? Mit dieser Formulierung der Leitfrage lanciert der Lehrer eine Diskussion, für die die Klasse wieder im Stuhlkreis zusammensitzt. Denn das Problem der Idealität mathematischer Begriffe wurde schon in der Antike erörtert. Um diese Art des frühen wissenschaftlichen Lernens zu verlebendigen, inszenieren wir in der Klasse einen Dialog zwischen den berühmten altgriechischen Denkern Sokrates und Hippokrates über das besondere Wesen der Mathematik als Wissenschaft. Zwei Schülerinnen übernehmen die Rollen der Dialogpartner, ein Schüler ist der Erzähler. Am Schluss kommt Hippokrates zur Einsicht: In der Mathematik sind die Dinge genau das, was man von ihnen denkt. Im Gegensatz zu den Dingen, die in der Wirklichkeit vorkommen (wie unsere sechseckigen Natur- und Kulturformen) und mit denen sich die andern Wissenschaften beschäftigen. Also ist jeder Kreis, jedes Sechseck, jede Zirkelrose, die wir zeichnen, nur ein unvollkommener Repräsentant für die perfekte Figur, die wir meinen. Oder kurz: Den idealen Sechsstern gibt’s nur in unserem Kopf!

Wo immer es möglich ist, versucht die Lehrkunstdidaktik, die historische Genese einer Lehrsache mit zu vermitteln und im Idealfall authentisches didaktisches Quellenmaterial zu verwenden. Weil dieses jedoch bei dieser zentralen Frage fehlt, behilft sich der Unterricht mit einem nachgestellten sokratischen Dialog des ungarischen Mathematikers Alfréd Rényi. Auch hier ist das Ziel, den Lernenden Raum und Zeit zu eigenem Denken einzuräumen.

Damit verschiebt sich die Frage vom Wie zum Warum! Nicht wie konstruiere ich eine perfekte geometrische Figur, sondern warum schliesst sich die ideale Zirkelrose genau? Mathematisch formuliert: Warum lässt sich der Radius eines beliebigen Kreises genau sechsmal auf dem Kreisrand abtragen? Kann ich beweisen, dass es genau sechsmal geht? Jetzt ist die Schulklasse mit diesem Problem endgültig in der Antike gelandet und der erste Akt des Lehrstücks setzt ein. Diese Frage spricht ein uraltes Problem an, an dem die Anfänge der mit Beweisen operierenden Wissenschaft Mathematik deutlich werden: Denn schon Euklid von Alexandria hat vor über 2000 Jahren erstmals Warum-Fragen zu mathematischen Problemen gestellt. Wenn das Warum beantwortet ist, hat sie die Wie-Frage gleich mitgeklärt.

Und: Das ist gleichzeitig der Wechsel von den alten Ägyptern zu den alten Griechen! Erstere waren Rechen- und Messkünstler, aber keine Mathematiker. Sie haben die Dinge nicht hinterfragt. Die Griechen schon. Daher ist das Beweisen ja auch erst bei ihnen entstanden und die Mathematik macht innerhalb weniger Jahrhunderte deutlich grössere Sprünge, als sie in den 3000 Jahren zuvor bei den Ägyptern machte.

 

Euklid? Warum geht jetzt der Lehrer plötzlich raus, um jemanden abzuholen, wie er kurz sagte? Ah, da kommt er ja wieder, aber nein: Er hat sich einen weissen Umhang umgeworfen, tut wie ein Fremder und spricht: „Mein Name ist Euklid von Alexandria. Ich begrüsse euch, liebe Schülerinnen und Schüler. Ich bin froh, dass ich endlich bei euch bin nach meiner langen Reise. Geboren bin ich 300 Jahre vor eurer Zeitrechnung … im antiken Griechenland. Ich wohne aber schon seit langem in Alexandria.“ Er habe sich zu seiner Zeit auch schon mit dem Beweisen von mathematischen Problemen befasst, auch mit diesem. Wie schön! Hier kommt er also selbst wieder, um uns zu helfen und uns zu motivieren.

Die Lehrkunstdidaktik ist offen gegenüber allen didaktischen Formen, auch dem Rollenspiel, wenn es hilft, die Spannung des Lernprozesses aufrechtzuerhalten. In der Gesamtdramaturgie des Lehrstücks ist die „Begegnung“ mit Euklids Beweis in seinem „Elemente“-Buch für den dritten Akt vorgesehen; schon hier weiss die Klasse jedoch, dass sie auf den Spuren eines früheren Gelehrten weiterschreitet.

 
Wir kennen zwar die Lösung, aber leider nicht den Weg, den Euklid bis zum Beweis dieses Problems gegangen sei, sagt nun wieder der Lehrer. Deshalb bleibt der Klasse nur, sich selbst auf die Suche nach einer Begründung zu machen, allerdings direkt auf den Spuren des überragenden frühen Mathematikers Euklid. Alle bekommen nun genug Zeit, sich des Problems anzunehmen, immer im Dreischritt von Ich-Du-Wir: Zunächst überlegen alle still für sich alleine, skizzieren ihre Denkwege in Zeichnungen oder Notizen auf ihren Blättern, dann tauschen sie sich mit den Sitznachbarn aus und testen, ob die eigenen Überlegungen von andern nachvollzogen werden können, schliesslich präsentieren Einzelne oder kleine Gruppen die Ideen im Plenum. Alle Beiträge sind willkommen, niemand wird ausgeschlossen, alle dürfen ihre Gedanken in ihrer Alltagssprache äussern und alles an Hilfsmitteln benutzen, was sie benötigen, den Rechner, ihre Zeichenwerkzeuge, Schnüre oder Dreieckklötzchen. Es zeigt sich aber bald: Das zentrale Mittel bei solchem Knobeln ist das Denken selbst, ist das Vermögen, logische Schritte zu machen, die in ihrer Abfolge einen nachvollziehbaren Denkweg bilden – im Fremdwort: eine Methode. Denn den idealen Sechsstern gibt’s ja nur in unseren Köpfen, also muss auch der Beweis für seine Regelmässigkeit in unseren Köpfen entstehen. Alle sind jetzt echt Forschende.

Dass in diesem Lehrstückakt jegliche ‚materiellen‘ Hilfsmittel eingesetzt werden dürfen, ist selbstverständlich. Die Einteilung der Such- und  Denkprozesse in Ich-, Du- und Wir-Phasen ist hier eine bewusste didaktische Vorgabe, weil in einem Lehrstück das Verhältnis von individuellem Lernen und Austausch in der Gruppe ausgeglichen sein sollte. Die so genannte Ich-Wir-Balance ist eine der acht Lehrstückkomponenten.

Der Lehrer liefert nun im zweiten Akt die von Martin Wagenschein so genannten Uferhilfen, zum Beispiel bespricht er mit der Klasse, welche Strategien man auf einem solchen Forschungsweg anwenden könnte. Wenn das Problem überaus kompliziert ist, hilft vielleicht eine Vereinfachung. Wenn das dem Kreis eingeschriebene Sechseck sechs gleichseitige Dreiecke umfasst, die alle die Kantenlänge des Kreisradius haben, ist es vielleicht einfacher, den Kreis wegzulassen und nur noch mit den Dreiecken weiterzufahren. Eine weitere Vereinfachung besteht darin, drei davon beiseite zu lassen, also den Kreis am Durchmesser zu teilen. Dann haben wir es noch mit drei Dreiecken zu tun oder mit einer Figur, die sich im anderen Halbkreis ‚wiederholt‘. Wichtig ist einzig, dass das Problem nach der Vereinfachung nicht verändert ist. Das sei nach jedem Schritt zu prüfen, mahnt der Lehrer.

Der zweite Akt des Lehrstücks ist ganz der Suche nach einer Begründung für die Entdeckung gewidmet, dass sich der Radius eines beliebigen Kreises genau sechs Mal auf dem Rand abtragen lässt. Um weiter zu kommen, sind Strategien zur Vereinfachung der Problemstellung und zur Umformulierung der Grundfrage zu entwickeln.

Jetzt läuft das forschende Lernen im Gedankenlabor an. Die getaktete Unterrichtszeit wird irrelevant, die Klasse braucht jetzt die Zeit, die sie eben braucht, um in ihrer Suche voranzukommen. Umwege und Sackgassen gehören dazu – wie in jeder Forschungsarbeit seit den Anfängen der Wissenschaft. Aber spannend bleibt es allemal. Was ist vom Vorschlag zu halten, den Anna und Camille auf der hintersten Bank und dann nochmals an der Tafel vorne präsentieren? Sie operieren vor allem mit Dreierzahlen, was sich ja anbietet bei Sechsecken und Dreiecken, die zudem alle mit drei 60-Grad-Winkeln bestückt sind. Leider kommen sie mit ihrer Beweisrechnung bei der Klasse noch nicht an; der Lehrer empfiehlt ihnen, sie zu Hause schriftlich festzuhalten und dann nochmals vorzulegen. Verschiedene Schülerinnen und Schüler versuchen einen Weg über die Winkel in den gleichseitigen Dreiecken, ausgehend vom Wissen darüber, dass der Kreis 360 Grad umfasst. Nicolas demonstriert in aller Klarheit am Sechsstern auf der Tafel vorne, dass alle sechs Dreiecke gleich gross sein müssen, weil alle 18 Winkel immer 60-Gradwinkel sind. Da wirkt der Lehrer geradezu als Spielverderber, wenn er moniert, dann müssten sie aber zuerst noch beweisen, dass diese Winkel genau 60 Grad betrügen und nicht 58 oder 63. Der Weg über die Winkelvermessung scheint zwar gangbar, aber er bringt doch keine wirkliche Einsicht, weil man ja den wirklichen Grund für das Radius-Phänomen nicht sehen kann. Zur Erklärung wird hier ein anderer, nicht verstandener Satz herbeigezogen. Man bemüht den mächtigen Satz über die Winkelsumme, der ja für alle unendlich vielen Dreiecke gilt. Wir haben es hier aber mit dem einfachsten aller Dreiecke zu tun, einem gleichseitigen und damit auch gleichwinkligen Dreieck. Muss man da wirklich den Winkelsummensatz benutzen, oder gibt es noch einen anderen, einfacheren Beweis, bei dem nicht mit Kanonen auf Spatzen geschossen wird?

Ein Hauptziel der Lehrkunstdidaktik ist es, das forschende Lernen der Schülerinnen und Schüler zu aktivieren. Sie sollen die Erkenntniswege ihrer Vorgänger und Vorgängerinnen selbst abschreiten können und dabei auch erfahren und einsehen, dass Irrwege und Sackgassen notwendig zum Forschungs- und Lernprozess dazugehören.

Also doch zurück zu den vereinfachten Figuren? Jede Gruppe hat nun die sechs gleichseitigen Dreiecke als Holzklötzchen vor sich und versucht verschiedene Kombinationen, um den Gedanken auf die Sprünge zu helfen. Die Frage lautet jetzt: Lassen sich sechs gleichseitige Dreiecke lückenlos rundherum zusammenschieben? Wenn wir die Figur durch Halbierung weiter vereinfachen, müssen wir das Problem erneut umformulieren: Lassen sich drei gleichseitige Dreiecke lückenlos an einer Geraden anlegen? Der Weg führt wohl irgendwie über eine Verschiebung zum Ziel. Aber wie? Erneut erinnert Anna daran, dass das Herumschieben der Klötzchen keinerlei Beweiskraft habe, weil keines der Holzdreiecke exakt gleichseitig sein könne. Der Lehrer nimmt diese Bemerkung dankbar auf und schlägt vor, zur Zeichnung des ‚halben‘ Sechsecks bzw. der drei Dreiecke an der Geraden des Durchmessers auf der Tafel zurückzukehren. Die Vereinfachung des Ausgangsproblems habe zu folgender Fragestellung geführt: „Wenn zwei Dreiecke nebeneinander an einer Geraden anliegen, passt dann ein drittes in die Lücke?“

Jetzt steigt die Spannung auf einen Höhepunkt, alle schauen gebannt nach vorne, wo der Lehrer den Beweis an der Tafel pantomimisch vorführt. Es quietscht gehörig, als er sein präpariertes Pappdreieck entlang der Geraden vom ersten anliegenden Dreieck zum andern hinüberzieht, weil fünf farbige Kreiden an verschiedenen Stellen im Pappdreieck stecken und bei dieser Verschiebung also fünf Striche hinterlassen, die alle gleich lang, gerade und parallel sind. Die Spannung hält an; alle haben die Chance, die Lösung für sich zu formulieren, aber niemand soll sie vorschnell herausplappern. Der Lehrer sieht da und dort sich aufhellende Gesichter und spontane Aha-Ausrufe, die zeigen, bei wem der Groschen schon gefallen ist. Einige von ihnen verraten ihre Entdeckungen flüsternd dem Lehrer; alle sollen die Chance haben, selbst auf die Lösung zu stossen. Josepha, die dem Lehrer eine perfekte Formulierung der Lösung zuflüstert, darf stumm an der Tafel weitere Hinweise geben: Sie nimmt das Pappdreieck vom Pult, hält es mit einer Seite nacheinander an alle farbigen Striche und verdeutlicht damit, dass alle die gleiche Länge haben, nämlich exakt die Länge einer Dreiecksseite. Diese Distanz haben natürlich alle Punkte im Dreieck bei der Verschiebung zurückgelegt, auch die Dreiecksspitze. Damit passt ein drittes Dreieck genau in die Lücke: Drei Dreiecke lassen sich nebeneinander lückenlos an einer Geraden anlegen. Am Ende haben die Schülerinnen und Schüler das Problem also auf eine Dreiecksverschiebung am halben Sechseck zurückgeführt. Das anfangs merkwürdige und erstaunliche Phänomen ist für die Klasse jetzt plötzlich selbstverständlich geworden, weil ‚logisch‘ erklärbar.

Der Lehrer lobt nun alle für ihre Ausdauer beim langen Ringen mit der Sache. „Wisst ihr, was ihr in den letzten paar Stunden gerade gemacht habt? Ihr habt einen vorzüglichen mathematischen Beweis geführt. So geht das mathematische Beweisen!“ Jetzt gehen die Emotionen hoch: Anna und Camille klatschen sich ab, Lukas und Nicolas trommeln mit den Fäusten auf ihre Brust, alle lachen und sind stolz auf sich selber.

Mit dem dritten Akt kommt schliesslich Euklid wieder ins Spiel – diesmal in Form eines dicken braunen Buchs, das der Lehrer vorne auf dem Projektor platziert. Es ist die deutsche Übersetzung jenes Werks, das nach der Bibel weltweit die grösste Verbreitung fand: der 2000-Jahre-Klassiker „Die Elemente“. Darin hat Euklid das gesamte mathematische Wissen seiner Zeit zusammengefasst und alle Sätze bewiesen, indem er sie logisch auf ganz wenige, nämlich auf zehn Axiome zurückgeführt hat. Die Klasse lernt nun ‚ihren‘ Beweis im Wortlaut und in der Darstellung kennen, wie ihn Euklid niedergeschrieben hat. Somit können die Lernenden ihr eigenes Tun direkt an die lange Kulturtradition des mathematischen Denkens anschliessen.

Genetisches Lernen besteht darin, etwas Gewordenes – hier das Verfahren des mathematischen Beweisens – als Werdendes zu entdecken oder den ursprünglichen kollektiven Entdeckungsprozess heute individuell lernend nachzuvollziehen. Im Lehrstück beschreiten die Lernenden diesen Weg am Beispiel des einem Kreis eingeschriebenen Sechsecks, ausgehend vom verblüffenden Naturphänomen bis hin zum mathematischen Nachweis seiner eigentümlichen Ideal-Form. In Euklid treffen sie sodann einen Wissenschaftsenzyklopädisten, der diese Forschungsresultate vor 2000 Jahren bereits systematisiert und gesammelt hat.

Ganz zum Schluss erfahren sie, dass Euklids Axiome weit über die Mathematik hinaus ausstrahlen, zum Beispiel sein erstes Axiom, das auch beim Sechsstern-Beweis die logische Basis abgibt: „Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.“ Ein kurzer Ausschnitt aus einem Hollywood-Film über Abraham Lincoln zeigt, wie der US-Präsident aus dem 19. Jahrhundert dieses Axiom Euklids zitiert und es natürlich politisch umsetzt, indem er die Sklaverei abgeschafft und alle Menschen als gleichberechtigte Wesen anerkannt hat.

ÃœBERBLICK:
METHODENTRIAS, LEHRIDEE, LEHRSTÃœCKKOMPONENTEN

Hier folgen die ersten 4 Lehrstück-Komponenten:

Und hier die letzten 4 Lehrstück-Komponenten:

 

 

Literatur

• Bentley, Wilson Alwyn(2000): Snowflakes in Photographs. Dover Publications. Mineola, New York. [Erstausgabe dieser Edition: 1931. Original: Snow crystals, 1898].

• Cowen, Painton(1979): Die Rosenfenster der gotischen Kathedralen. Verlag Herder. Freiburg.

• Gerwig, Mario (2015): Beweisen verstehen im Mathematikunterricht. Axiomatik, Pythagoras und Primzahlen als Exempel der Lehrkunstdidaktik. Wiesbaden: Springer

• Haeckel, Ernst(³2009):Kunstformen der Natur. Hundert Illustrationstafeln mit beschriebenem Text, allgemeine Erläuterung und systematische Ãœbersicht. Wiesbaden. [Erstausgabe: 1899]

• Nagler, Jörg (²2013): Abraham Lincoln. Amerikas großer Präsident. Eine Biographie. H. Beck. München.

• Rényi, Alfréd (1966): Sokratischer Dialog. In: Neue Sammlung. Göttinger Blätter für Kultur und Erziehung. 6. Jahrgang. Vandenhoeck & Ruprecht. Göttingen. S. 284-304.

• Thaer, Clemens(⁴2005): Die Elemente von Euklid. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften. Band 235. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch. Frankfurt am Main

• Wagenschein, Martin(⁴2008): Verstehen lehren. Genetisch – Sokratisch – Exemplarisch. Beltz. Weinheim und Basel. [Erstausgabe: 1968]

• Wildhirt, Susanne (2008): Lehrstückunterricht gestalten. Lehrkunstdidaktik 2, Bern: hep-Verlag