s ist der wahrscheinlich berühmteste Satz der gesamten Mathematik überhaupt: Fast jeder kann „aquadratplusbequadrat...“ murmeln, und manche wissen auch noch, wie es dann weitergeht (nämlich: „...istgleichcequadrat“). Doch was wirklich hinter diesem Satz, dem „Satz des Pythagoras“ steckt, dass dieser nämlich eine Aussage über die Flächeninhalte von Quadraten macht, dass dieser sich sogar auf beliebige ähnliche Figuren verallgemeinern lässt und dass sich darüber hinaus das alles auch noch auf vielen Wegen aber immer eindeutig, erschlagend klar und umwerfend präzise beweisen lässt, das ist dann nur noch wenigen bekannt. Und noch mehr: Nirgendwo sonst in der Schulmathematik findet man so viele verschiedene „Erklärungsmöglichkeiten“ für denselben Sachverhalt, nirgendwo bietet es sich so an wie hier, anhand der Vielfalt der unterschiedlichen Beweise das Beweisen selbst zu thematisieren.
Doch zuvorderst steht die Formulierung des Satzes selbst. Dazu liegen 24 farbige Quadrate auf dem Boden des Klassenzimmers, sie alle sollen zu einem einzigen vereint werden. Wie kann das gehen? Schnell schaffen wir dies mit zwei gleichgroßen Quadraten, und nach kurzer Zeit gelingt es uns auch, zwei unterschiedlich große Quadrate (nennen wir sie a2 und b2) zu einem einzigen, neuen Quadrat (sagen wir c2) zusammenzulegen – damit haben wir den Satz des Pythagoras selbst entdeckt: a2 + b2 = c2. Doch können wir ihn auch beweisen? Ja, sogar auf über zehn unterschiedliche Arten: Wir können Flächen verwandeln, Formelrechnungen aufstellen oder mit Ähnlichkeitsverhältnissen argumentieren. Jeder Schüler wird nun Experte für einen Beweis. Im Ringen um die exakte Formulierung schulen wir uns besonders im logischen Argumentieren. Schließlich präsentieren die einzelnen Gruppen ihre grob unterschiedlichen Beweise – Recht haben sie alle. Und in jedem einzelnen taucht der berühmte euklidische Beweis-Dreischritt auf: Voraussetzung-Behauptung-Beweis. Das 2.500 Jahre alte Beweis-Paradigma Euklids hat also bis heute Bestand!
Nachdem in einer dritten Sequenz der Satz angewendet, d. h. in seiner Einsatzfähigkeit erprobt und somit in seiner Bedeutung noch umfassender gegenwärtig wird, verallgemeinern wir ihn abschließend auf beliebige ähnliche Figuren – und wieder ist Euklid hierbei ein wichtiger Helfer.
Variation, Sekundarstufe I, Marburg:
Im Rückgriff auf altägyptische Seilspanner und einen (erdachten) Magier Pythagoras wird der Satz mit seinem Ineinander von Geometrie und Algebra deutlich: Von Flächen handelt er, von quadratischen Flächen – und damit auch von quadratischen Zahlen und deren Beziehung zueinander, so sie aus einem rechtwinkligen Dreieck entstehen. Wie könnte man selbst darauf kommen? Und: Lässt sich der Zusammenhang erklären? Und wenn: Sollte nicht eine Erklärung, ein Beweis genügen?
Nirgendwo sonst in der Schulmathematik findet man so viele verschiedene “Erklärungsmöglichkeiten” für denselben Sachverhalt; nirgendwo bietet es sich infolgedessen so an wie hier, anhand der Vielfalt der Beweise das Beweisen selbst zu thematisieren. So werden die Schüler und Schülerinnen zunächst zu Experten, die selbst um einen Beweis ringen, Folgerungen ziehen, Ideen verwerfen und neue entwickeln, bis sie klar und unabweisbar dasteht: die Aussage des Satzes des Pythagoras.
Wie haben andere Experten dies gezeigt? Im Unterricht zeigen Euklid, „Prof. Binomi“ und Willmann ihre Verfahren und damit zugleich auch andere Sichtweisen auf denselben Inhalt: Flächen umformen, Formelrechnungen oder Ähnlichkeitsverhältnisse zeigen je auf ihre Weise, dass der Satz des Pythagoras gilt. Und in der Abschlussrunde können wir gemeinsam vergleichend betrachten: Welcher Experte, welcher Weg hat mich persönlich am meisten überzeugt? Recht haben sie alle, so wie wir auch – aber bei wem können bzw. konnten wir am besten verstehen? Hier dürfen wir ganz individuell entscheiden, jenseits des strengen „Richtig“ und „Falsch“ der Mathematik! Und in einer dritten Sequenz wird der Satz angewendet, gewissermaßen in seiner Einsatzfähigkeit erprobt und somit in seiner Bedeutung noch umfassender gegenwärtig.
Inszeniert in
Basel CH
Marburg D
Bern CH
Luzern CH
Lehrstückbericht
Material